Fonctions de plusieurs variables réelles et optimisation
LE module par séquences:
Introduction, représentations graphiques et domaines de définition
Limites et continuité
Dérivées partielles
Étude de points critiques
Opérateurs différentiels
Intégrales doubles et triples
Playlist du module:
Outil en développement pour l'exploitation de fonctions à 2 variables (avec des exemples pré programés) :
Séquence 1 :
SEQUENCE_1_1A_FONCTIONS_PLUSIEURS_VARIABLES_DEFINITION.pdfDéfinition, représentation graphique et domaine de définition
Cours d'introduction aux fonctions de plusieurs variables réelles: les premiers exemples, les représentations graphiques et l'étude de domaine de définition.
Points d'attention:
Exemples de fonctions à plusieurs variables.
Domaine de définition des fonctions à une variable classiques (voir module 1).
Repère orthonormé de 2 (xy) et 3 (xyz) dimensions.
Représentations graphiques de fonctions à deux variables.
Notation des ensembles (de définition de fonctions) en IR.
Exemples de représentations graphiques sur GeoGebra: https://www.geogebra.org/m/enyszk3u
TD1.pdfTD 1
À vous de jouer !
TD1_correction.pdfTD 1 Correction
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AF1.pdfAF1
Pour aller plus loin !
AF1_corection.pdfAF1 correction
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REsumé du cours en 10 min
CM 1
Exercices
AF1 questions 5 et 6
Séquence 2 :
SEQUENCE_2_1A_FONCTIONS_DEUX_VARIABLES_CONTINUITE.pdfLimites et continuité
Nous allons faire l'extension du concept de limite et continuité de fonctions d'une variable réelle à fonctions de plusieurs variables. Ensuite fournir quelques exemples classiques de discontinuité et également montrer quelques techniques de calcul de limites et tests de continuité: approximation par chemins et coordonnées polaires.
Points à faire attention:
Rappels de limites de fonctions d'une variable réel classique.
Notion de continuité.
Les problèmes/failles qui causent des discontinuités.
Savoir comment se débarrasser des indéterminations du type 0/0.
Paramétrisations des chemins linéaires, quadratiques et etc.
Changement de système de coordonées: Coordonnées polaires
Approximation de l'origine par des chemins linéaires: https://www.geogebra.org/m/ygahkreh
TD2.pdfTD 2
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TD2_correction.pdfTD 2 Correction
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AF2.pdfAF 2
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AF2_correction.pdfAF 2 Correction
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REsumé du cours en 10 min
...10 min ou presque 😬
Exercices
Question 1 TD2 et Question 2 AF2
Séquence 3
SEQUENCE_3_1A_FONCTIONS_DEUX_VARIABLES_DERIVEES_PARTIELLES.pdfDérivées partielles
Dans ce cours nous étudions la notion de fonctions partielles et ensuite la notion de dérivé partielle. Ces notions généralisent la notion de dérivé de fonctions à une variable.
Fonctions partielles: https://www.geogebra.org/m/syccwbxb
Points à faire attention:
Rappels des dérivées de fonctions à une variable.
Fonctions partielles (fixer soit la variable x ou la variable y).
Bien comprendre la notation avec d et "d rond" pour les dérivées.
Dérivées secondes: voir comme la dérive des dérivées partielles. (4 possibilités: xx, yy, xy et yx)
Théorème de Schwarz: la condition pour l'égalité entre les dérivées croisées (d xy = d yx).
REsumé du cours en 10 min
... 10 min ou presque 😉
Exercices
TD3.pdfTD 3
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AF3.pdfAF 3
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AF3_correction.pdfAF 3 Correction
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Séquence 4 :
SEQUENCE_4_1A_FONCTIONS_DEUX_VARIABLES_Extremum_point_selle.pdfÉtude de points critiques
Ici nous nous approchons de l'objectif de ce module. Pour cette séquence nous allons introduire la notion de vecteur gradient, de point critique et de points d'extremum. Pour conclure, nous présentons un critère qui permet de décider si un point critique est de maximum, minimum ou de selle.
Points à faire attention:
Interprétation du vecteur gradient comme la direction du sens de croissance de la fonction.
Rappel des 4 dérives de seconde ordre d'une fonction de deux variables.
Idée géométrique de points extremums et de selle.
Calcul de D pour le critère des points extremums et de selle.
Gradient orthogonal aux courbes de niveaux: https://www.geogebra.org/m/pj5mqw6z
REsumé du cours en 10 min
Pas de résumé de cours pour la séquence 4. La démarche d'optimisation est décrite et exemplifiée sur la vidéo d'exercice à droite.
EXERCICES
Important !
Comment trouver les points optimales d'une fonction à deux variables
(s'ils existent)
TD4.pdfTD 4
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TD4_correction.pdfTD 4 Correction
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AF4.pdfAF 4
Pour aller plus loin !
AF4_correction.pdfAF 4 Correction
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Séquence 5 :
Exemple avant le cours: https://drive.google.com/file/d/18o6i23XWGWE7UGmyPElkF5I3md45dGAB
SEQUENCE_5_Fonctions_plusieurs_variables_1A.pdfOpérateurs différentiels
Comme le gradient, que nous connaissons déjà, il existe d'autres opérateurs différentielles, c'est-à-dire un application qui est strictement liée à l'idée de dérivation. En effet, ces applications (opérateurs) peuvent être un vecteur (comme dans le cas du gradient) ou un scalaire, comme pour la divergence (l'un des opérateurs que nous allons voir).
Points à faire attention:
Savoir à quoi ça sert chaque opérateur, c'est-à dire: quel information en rapport avec la fonction cet opérateur nos donne
Retenir les formules les moins intuitives. En effet, pour le gradient nous n'avons pas forcément besoin de s'inquiéter, nous le connaissons déjà très bien (à force). Pareil pour la divergence.
Voir certaines relations entre les opérateurs, exemple: div(grad) = laplacien.
Coordonnées cartésiennes et cylindriques: https://www.geogebra.org/m/edsnv77m
Divergence et rotationnel:
REsumé du cours en 10 min
Je vous laisse sans vidéo pour cette séquence: à part l'idée de dériver avec deux variables, cette séquence se résume à l'application des formules.
EXERCICES
À vous de vous entraîner 💪🏽
TD5.pdfTD 5
À vous de jouer !
TD5_correction.pdfTD 5 Correction
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*Nous nous excusons en avance pour l'image peu inclusive envers nos chers amis EARTH, CARES et STAR.
Séquence 6 :
SEQUENCE_6_Fonctions_plusieurs_variables.pdfIntégrales doubles et triples
Points à faire attention:
Primitives classiques à une variable.
Primitivation à deux variables.
Voir l'intégrale double d'une fonction positive comme un volume.
Calcul pratique d'une intégral double (méthode générale, fonctions sécables et théorème de Fubini)
Domaine carré Geogebra: https://www.geogebra.org/m/s3enjrre
REsumé du cours en 10 min
Cette video apporte un petit résumé du cours et une application pratique de calcul d'intégral double.
EXERCICES
L'exercice démarre à la minute 6'10''
TD6.pdfTD 6
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TD6_correction.pdfTD 6 Correction
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